Les estimations a priori pour les solutions des problèmes semilinéaires avec conditions de Dirichlet ont beaucoup retenu l'attention depuis l'article de Brezis et Turner de 1977. Beaucoup de résultats ont été obtenus dans le contexte du 2ème ordre en dimension N>2, en particulier en utilisant la technique du blow-up de Gidas et Spruck. En dimension critique N=2, la célèbre inégalité de Trudinger-Moser permet de considérer des nonlinéarités avec croissance exponentielle dans des problèmes du deuxième ordre. Dans ce contexte, Brezis et Merle et, plus tard, Chen et Li, ont étudié les estimations a-priori uniformes pour les solutions des problèmes avec une nonlinearité ayant un profil exponentiel.
Dans cet exposé, je présente l'équivalent au 4ème ordre de ces derniers travaux. Plus précisément, on obtient des estimations a priori uniformes pour les solutions d'un problème au 4ème ordre avec conditions de Dirichlet, avec une nonlinéarité générale dont la croissance est contrôlée par une fonction exponentielle, lorsque le domaine est une boule. Le résultat s'applique aussi pour les domaines bornés et suffisamment réguliers sous des hypothèses supplémentaires. En appliquant la théorie standard du dégré, on peut donc en déduire l'existence de solutions positives.